Alberi e frattali

E’ difficile evitare di parlare di frattali senza tirare in ballo alberi, fiocchi di neve e conchiglie, quindi per iniziare partiremo da uno di questi tre temi: gli alberi (come avrete già capito dal titolo).
Un frattale è essenzialmente un’oggetto fatto in modo tale che, se ne ingrandisci una parte, ottieni una copia esatta del “tutto” da cui quella parte è stata presa. Ovviamente, questo avviene solo in matematica: ci sono dei precisi limiti, sia fisici che biologici, per i quali in realtà questa parte ingrandita sarà solo una riproduzione semplificata dell’oggetto da cui è stata presa.

Un ramo?

Un albero?

Negli alberi questo si può vedere nel fatto che molto spesso un ramo ha una forma identica a quella di un alberello della stessa specie. Considerate le due immagini in nero ai lati: sono la stessa, riuscireste a dire se ritrae un albero oppure un ramo?

Ovviamente in natura la crescita dei rami di un albero non riproduce con esattezza la forma dello stesso albero che li genera: condizioni climatiche e di luce (come anche tagli o parassiti) fanno sì che ogni ramo cresca diverso dagli altri. Ciò che però non cambia sono le leggi secondo cui crescono.

Si possono anche creare figure frattali estremamente simili ad alberi, per quanto stilizzati.

A questo proposito ho trovato uno splendido testo del professore Stefano Berardi dell’Università di Torino sugli alberi ricorsivi.
Per chi non volesse leggerlo per intero, riporto una delle regole più note e chiare riguardo alla creazione di “alberi” con metodi ricorsivi e alcune immagini… Vi consiglio comunque di andare al sito del corso anche solo per guardare le immagini che si riescono a ottenere con metodi ricorsivi.

 

Prendiamo una linea retta, il nostro tronco, e facciamola separare in due linee rette, i rami principali. Ripetiamo questo procedimento  rendendo sempre più corte e sottili le linee (mantenendo insomma le proporzioni dei due rami principali rispetto al tronco) e abbiamo già un semplice albero…

Continuiamo il procedimento finché la precisione dell’immagine ce lo consente. Ci sono molti programmi che ci permettono di fare questo con poche istruzioni ricorsive, vale a dire qualcosa di simile a:

  1. Disegna un ramo in verticale (il tronco)
  2. In cima ad ogni ramo (da cui non partano già altri rami) disegna due rami lunghi e spessi la la metà del ramo originario, separati fra loro da un angolo di 40°
  3. Ritorna alla seconda istruzione e continua da lì

Il terzo punto è ciò che rende queste istruzioni ricorsive: fa sì che le ultime due istruzioni vengano ripetute all’infinito… Va notato che se il computer ripetesse veramente queste istruzioni all’infinito allora si pianterebbe o rallenterebbe molto tutte le altre prestazioni. In realtà molti programmi pensati apposta per la creazione di frattali fermano la ricorsione quando ormai si stanno iniziando a costruire oggetti troppo piccoli per potere essere visualizzati con successo sul computer, ma in altri casi è meglio dire esplicitamente al computer di fermarsi dopo un certo numero di iterazioni.

Un programma simile può anche fare sfumare poco a poco i colori dell’albero, passando dal marrone del tronco al verde delle foglie. Le immagini che vedete qui accanto in bianco e nero sono disponibili a colori nel sito di cui vi sto parlando. Ecco qui lo stesso albero a colori:

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